Criterio del cociente

El criterio del cociente o criterio de d'Alembert se utiliza para determinar la convergencia o divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de esta.

Definiendo con ${\displaystyle n}$ a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos respectivamente ${\displaystyle \limsup }$ y ${\displaystyle \liminf }$ a los límites superior e inferior de la sucesión ${\displaystyle \textstyle {A_{n+1} \over A_{n}}}$ se obtienen cada uno de los siguientes casos:

• Si ${\displaystyle \limsup <1,\ A_{n}}$ converge.
• Si ${\displaystyle \liminf >1,\ A_{n}}$ diverge.
• Si ${\displaystyle \liminf \leq 1\leq \limsup }$, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

En el caso particular de que dicha sucesión sea convergente tendremos entonces que ${\displaystyle \liminf =\limsup =L}$, siendo ${\displaystyle L}$ el límite de la sucesión, por lo que el estudio se puede simplificar a los siguientes casos:

• Si ${\displaystyle L<1,\ A_{n}}$ converge.
• Si ${\displaystyle L>1,\ A_{n}}$ diverge.
• Si ${\displaystyle L=1}$, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.